Smidigt matteproblem (kvadratrötter)

nitro2k01 skrev:

UlfT skrev:

Men nu menade jag roten ur negativa tal. Rötterna av -4, är 2i och -2i. Deras absolutbelopp är 2. Därmed har vi fått en rot som ligger på den reella axeln. Fast min miniräknare brukar ge imaginära tal när man applicerar sqrt på negativa tal. Det är tydligen bara för positiva tal som min miniräknare beräknar sqrt() som den principiella kvadratroten.

Enligt definitionen på sidan, så skulle alltså x = 2i, alt. x = -2i med ditt exempel. Men definitionen i fråga gäller bara reella x. Kolla själv. :)

Är du riktigt säker på vad det är du skriver om nu? -4 är ett i allra högsta grad reellt tal. Det finns ingen komponent på den imaginära axeln när det gäller talet -4. Men rötterna är imaginära. Antagligen menar du bara att definitionen gäller enbart positiva reella tal. Det innebär i så fall att funktionen sqrt() ändrar betydelse längs med den reella talaxeln. Det må så vara. Men nog är det en aning störande med definitioner som helt plötsligt bara ändrar sig, helt beroende på var man befinner sig på talaxeln.

Jo men du missar att i definitionen så gäller det reella x, där x används som det står i formeln. Den formeln säger ingenting om huruvida roten eller det som står precis innanför sqrt() är reellt, utan huruvida x är det.
http://sv.wikipedia.org/wiki/Kvadratrot
Ett par exempel:
x=2
V.L. = sqrt(2^2) = sqrt(4) = 2
H.L. = |2| = 2
V.L. = H.L.

x=-2
V.L. = sqrt((-2)^2) = sqrt(4) = 2
H.L. = |-2| = 2
V.L. = H.L.

x=2i (Här faller likheten eftersom den inte är definierad för komplexa tal)
V.L. = sqrt((2i)^2) = sqrt(-4) = 2i
H.L. = |2i| = 2
V.L. =/= H.L.

nitro2k01 skrev:

Jo men du missar att i definitionen så gäller det reella x, där x används som det står i formeln. Den formeln säger ingenting om huruvida roten eller det som står precis innanför sqrt() är reellt, utan huruvida x är det.

Jag tyckte det var exakt det som jag inte missade. För negativa reella tal, är roten 2i respektive -2i.

/red Nu formulerade du det där ganska mystiskt. Enligt definitionen som WikiPedia har, handlar det bara om roten av positiva tal. Så långt är jag med. Men det innebär en inkonsekvens i hur sqrt() används. Det borde du medge. Men när jag läser närmare vad du skriver i ovanstående citat, ser det verkligen märkligt ut. Vilket x menar du egentligen? Det som man kan ta kvadratroten ur? Det kan i så fall vara både positivt och negativt, men det saknar en imaginär del, eftersom det befinner sig på den reella axeln. Men är x negativt, har roten en imaginär del, såvida man inte betraktar absolutbeloppet som rot. Men det kan ju vara så att det är x i sig själv som du menar är roten. Det framgår inte riktigt.

UlfT skrev:

nitro2k01 skrev:

Jo men du missar att i definitionen så gäller det reella x, där x används som det står i formeln. Den formeln säger ingenting om huruvida roten eller det som står precis innanför sqrt() är reellt, utan huruvida x är det.

Jag tyckte det var exakt det som jag inte missade. För negativa reella tal, är roten 2i respektive -2i.

Jag tror du rör ihop det, eller nåt.
Det står sqrt(x^2) = |x|. Och x^2 är alltid positivt för reella x. Så att sqrt() av ett negativt tal är imaginärt har inte med saken att göra överhuvudtaget.

Sen är roten för negativa reella tal inte 2i och -2i, utan det är det bara för sqrt(-4), men det var nog mest ett typo från din sida. ;)

Jo men då missade du väl det ändå.
x är reellt ==> x^2 är positivt
x är imaginärt ==> x^2 är negativt
x är komplext ==> x^2 är komplext

x får bara vara reellt, x^2 är följdaktligen positivt reellt, och sqrt(x^2) är också positivt. Att x:et står innanför absolutbelopp tyder ju för övrigt på att det måste vara positivt.

pimme skrev:

Det står sqrt(x^2) = |x|. Och x^2 är alltid positivt för reella x. Så att sqrt() av ett negativt tal är imaginärt har inte med saken att göra överhuvudtaget.

Detta är helt riktigt. och visst kan jag gå med på att man definierar en funktion för kvadratroten som returnerar enbart positiva rötter. Men fortfarande gäller att det finns två kvadratrötter. Det finns alltså två olika tal som båda två ger samma kvadrat. Vi måste skilja på funktionen sqrt() och begreppet kvadratrot. Eller för att uttrycka det med engelsk terminologi, Square root är inte nödvändigtvis detsamma som principal square root.

nitro2k01 skrev:

Jo men då missade du väl det ändå.
x är reellt ==> x^2 är positivt
x är imaginärt ==> x^2 är negativt
x är komplext ==> x^2 är komplext

x får bara vara reellt, x^2 är följdaktligen positivt reellt, och sqrt(x^2) är också positivt. Att x:et står innanför absolutbelopp tyder ju för övrigt på att det måste vara positivt.

Läs min redigering. Det framgick inte om du menade att x var roten eller om x var det som man skulle ta roten ur.

UlfT skrev:

nitro2k01 skrev:

Jo men då missade du väl det ändå.
x är reellt ==> x^2 är positivt
x är imaginärt ==> x^2 är negativt
x är komplext ==> x^2 är komplext

x får bara vara reellt, x^2 är följdaktligen positivt reellt, och sqrt(x^2) är också positivt. Att x:et står innanför absolutbelopp tyder ju för övrigt på att det måste vara positivt.

Läs min redigering. Det framgick inte om du menade att x var roten eller om x var det som man skulle ta roten ur.

Det är ju just det jag säger om och om igen, det är varken eller. Jag länkar till sidan igen: http://sv.wikipedia.org/wiki/Kvadratrot
Jag postar till och med bilden här. (Detta är ok med wF's regler för övrigt, eftersom alla bilder på wikipedia är släppta under GPL, som är en fri licens)
Där står det klart och tydligt att x är det x som finns i mitten av sqrt(x^2), alltså det som hamnar innanför kvadrattecknet. Nu börjar jag nästan tröttna på att säga samma sak om och om igen, och börjar nästanb känna mig otrevlig, så lova att du tittar hur x använd s i bilden från wikipedia och förstå att det är detta x jag syftar på innan du postar något mer inlägg!

nitro2k01 skrev:

Där står det klart och tydligt att x är det x som finns i mitten av sqrt(x^2), alltså det som hamnar innanför kvadrattecknet. Nu börjar jag nästan tröttna på att säga samma sak om och om igen, och börjar nästanb känna mig otrevlig, så lova att du tittar hur x använd s i bilden från wikipedia och förstå att det är detta x jag syftar på innan du postar något mer inlägg!

Detta var en del av det som stod på sidan du länkade till. Men precis i början stod det:

Inom matematiken är kvadratroten ur ett icke-negativt reellt tal x det icke-negativa reella tal, vilket multiplicerat med sig självt blir x.

Det kunde alltså ha varit detta x du syftade på. Därav oklarheten. Angående formeln som du länkar till, håller jag med om att absolutbeloppet av roten alltid är positiv och reell. Om denna formel gäller som en definition, får jag väl konstatera att jag har något fel på min miniräknare, för den ger faktiskt imaginära tal när jag tar roten ur negativa tal. Hur tycker du vi ska förhålla oss till negativa tal? Ska vi följa WikiPedias definition, och därmed säga att även negativa tal har endast positiva rötter? Eller ska vi säga att negativa tal kan ha rötter på den imaginära axeln?

Återigen, i formeln används rot-tecknet, vilket tydligen bara avser principal square root. Det har jag redan gått med på. Men fortfarande anser jag att square root, utan tillägget principal, faktiskt har flera lösningar. Och jag har accepterat att rot-tecknet inte står för square root, utan principal square root. Längre än så kan jag inte gå utan att göra våld på mitt sunda förnuft. Sedan får du bli hur irriterad du vill.

UlfT skrev:

Detta var en del av det som stod på sidan du länkade till. Men precis i början stod det:

Inom matematiken är kvadratroten ur ett icke-negativt reellt tal x det icke-negativa reella tal, vilket multiplicerat med sig självt blir x.

Det kunde alltså ha varit detta x du syftade på. Därav oklarheten. Angående formeln som du länkar till, håller jag med om att absolutbeloppet av roten alltid är positiv och reell. Om denna formel gäller som en definition, får jag väl konstatera att jag har något fel på min miniräknare, för den ger faktiskt imaginära tal när jag tar roten ur negativa tal. Hur tycker du vi ska förhålla oss till negativa tal? Ska vi följa WikiPedias definition, och därmed säga att även negativa tal har endast positiva rötter? Eller ska vi säga att negativa tal kan ha rötter på den imaginära axeln?

Återigen, i formeln används rot-tecknet, vilket tydligen bara avser principal square root. Det har jag redan gått med på. Men fortfarande anser jag att square root, utan tillägget principal, faktiskt har flera lösningar. Och jag har accepterat att rot-tecknet inte står för square root, utan principal square root. Längre än så kan jag inte gå utan att göra våld på mitt sunda förnuft. Sedan får du bli hur irriterad du vill.

Detta är en definition av absolutbeloppet för ett reellt tal x. Inte en ansats att definiera kvadratroten.
Titta nu på x, som alltså står innerst i formelns vänsterled. Detta x måste alltså reellt. Detta ställer krav på x^2. Om x är reellt, så är klart att x^2 är positivt(Eller 0, men de spelar mindre roll). Därför blir aldrig x^2, som alltså ligger grund för det som kvadratroten beräknas på i detta exempel aldrig negativ! Och därmed finns inte detta problem.

Detta sätt att definiera absolutbeloppet för ett reellt tal bygger just på x^2 tar bort ev. tecken, sedan återställer sqrt() kvadreringen, men inte ev tecken som x har från början. En definition för absolutbeloppet helt enkelt.

Sedan undrar du vad som händer om du drar kvadratroten ur ett negativt tal. Ja, det finns fina definitioner för det också, men det faller dock utanför just detta exempels giltighetsområde, eftersom du ladrig kan hamna i den situationen att du ska dra kvadratroten ur ett negativt tal genom att sätta in ett reellt tal på x plats i formlen.

Här är det också värt att påpeka att x i detta fall inte motsvarar någon (principiell) kvadratrot, i det generella fallet. Detta är bara ett tal, en variabel.

Så, om du då vill dra kvadratroten ur ett negativt tal, så finns det självklart lagar och regler för det också. Lek gärna runt med de andra reglerna, men håll dig borta från just den regeln, eftersom den som sagt bara motsvarar rotutdragning av det positiva talet x^2.

nitro2k01 skrev:

Detta är en definition av absolutbeloppet för ett reellt tal x. Inte en ansats att definiera kvadratroten.
Titta nu på x, som alltså står innerst i formelns vänsterled. Detta x måste alltså reellt. Detta ställer krav på x^2. Om x är reellt, så är klart att x^2 är positivt(Eller 0, men de spelar mindre roll). Därför blir aldrig x^2, som alltså ligger grund för det som kvadratroten beräknas på i detta exempel aldrig negativ! Och därmed finns inte detta problem.

Ok. Jag är lite trött just nu. ;) Jag tänker hela tiden på det tal man ska ta roten ur. Inte på själva roten i sig. Därför blev jag lite förvirrad av sqrt(x^2). Men det är klart, om du med x syftar på det som ska upphöjas, och sedan tas kvadratroten ur, då har du naturligtvis rätt.

nitro2k01 skrev:

Så, om du då vill dra kvadratroten ur ett negativt tal, så finns det självklart lagar och regler för det också. Lek gärna runt med de andra reglerna, men håll dig borta från just den regeln, eftersom den som sagt bara motsvarar rotutdragning av det positiva talet x^2.

Men du kanske såg det som jag har citerat några gånger nu? Enligt det citatet finns det två kvadratrötter. Däremot är funktionen för rot-tecknet definierat så att det ger enbart positiva kvadratrötter. Det framgår av den sida jag länkade till. Om du kollar WikiPedias engelska version av den sida du länkade till, framgår det även där:

There are two solutions to the square root of a non-zero number. For a positive real number, the two square roots are the principle square root and the negative square root.

Källa: http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root.

UlfT skrev:

nitro2k01 skrev:

Så, om du då vill dra kvadratroten ur ett negativt tal, så finns det självklart lagar och regler för det också. Lek gärna runt med de andra reglerna, men håll dig borta från just den regeln, eftersom den som sagt bara motsvarar rotutdragning av det positiva talet x^2.

Men du kanske såg det som jag har citerat några gånger nu? Enligt det citatet finns det två kvadratrötter. Däremot är funktionen för rot-tecknet definierat så att det ger enbart positiva kvadratrötter. Det framgår av den sida jag länkade till. Om du kollar WikiPedias engelska version av den sida du länkade till, framgår det även där:

Jo om man definierar kvadratrötter till r de x som uppfyller x^2 = r så får man det resultatet. Och det är rpecis vad de verkar ha gjort, kanske anglosaxisk tradition eller pedagogisk lathet eller något. Jag har förstått det, men jag följer inte den principen själv. Detta är ett personligt val, inte ett förnekande av att man kan räkna på det sättet.

Dock tycker jag att du citerar mig fel där. Med "positiva talet" (understruket i citatet) menar jag hela uttrycket "x^2" som i sammanhanget alltid är positivt, som du också säger själv en bit upp i inlägget.

nitro2k01 skrev:

Dock tycker jag att du citerar mig fel där.

Nog för att vi har haft skilda uppfattningar i denna diskussion, men citatet är exakt som det blev när jag använde citatfunktionen. Jag har inte ändrat något av dina ord.

nitro2k01 skrev:

kanske anglosaxisk tradition eller pedagogisk lathet eller något.

Tja, de verkar ju inte ha förenklat problemet i vart fall. Så lathet tror jag inte på. Anglosaxisk tradition? Kanske det. Är matematiska regler kulturberoende?

UlfT skrev:

nitro2k01 skrev:

Dock tycker jag att du citerar mig fel där.

Nog för att vi har haft skilda uppfattningar i denna diskussion, men citatet är exakt som det blev när jag använde citatfunktionen. Jag har inte ändrat något av dina ord.

UlfT skrev:

nitro2k01 skrev:

Så, om du då vill dra kvadratroten ur ett negativt tal, så finns det självklart lagar och regler för det också. Lek gärna runt med de andra reglerna, men håll dig borta från just den regeln, eftersom den som sagt bara motsvarar rotutdragning av det positiva talet x^2.

Men du kanske såg det som jag har citerat några gånger nu? Enligt det citatet finns det två kvadratrötter. Däremot är funktionen för rot-tecknet definierat så att det ger enbart positiva kvadratrötter. Det framgår av den sida jag länkade till. Om du kollar WikiPedias engelska version av den sida du länkade till, framgår det även där:

Jag menar att du skulle ha struntat i att citera mig, eftersom det du skrev under mitt citat inte har nån anknytning till själva citatet. Det du skrev har jag dock besvarat, jag menar bara att du som sagt skulle ha skippat citatet.

UlfT skrev:

nitro2k01 skrev:

kanske anglosaxisk tradition eller pedagogisk lathet eller något.

Tja, de verkar ju inte ha förenklat problemet i vart fall. Så lathet tror jag inte på. Anglosaxisk tradition? Kanske det. Är matematiska regler kulturberoende?

Ja till viss del. Inom logiken finns det en gren som kallas intuitionism, som säger att sanningsvärde inte behöver vara vare sig sant eller falskt. Inom klassisk logik är varje påstående antingen sant eller falskt, medan från intuitionistisk synvinkel så kan både ett påståsende och dess negation vara falska. Sanningsvärdet beror på vilken kunskapsmängd som finns för tillfället.

Men detta handlar inte om tvetydighet av en matematisk definition. Detta handlar om definitionen av ett engelskt (och svenskt) ord. Om problemet skulle vara skrivet helt i matematisk symbolik skulle det knappast finnas någon tvetydighet.

UlfT skrev:

Därmed har vi alltså följande:

• Teknet står för positiva kvadratrötter
• Men kvadratrötter kan vara både positiva och negativa

OK, men märk väl att i den ursprungliga frågan användes tecknet, varför det inte råder något som helst tvivel om att (c) är falskt.

Sang-drax skrev:

UlfT skrev:

Därmed har vi alltså följande:

• Teknet står för positiva kvadratrötter
• Men kvadratrötter kan vara både positiva och negativa

OK, men märk väl att i den ursprungliga frågan användes tecknet, varför det inte råder något som helst tvivel om att (c) är falskt.

Som jag skrev för ganska många inlägg sedan:

Ok. I WikiPedia kallar de detta tecken för principal square root-function. Då är jag med på att detta tecken avser endast positiva kvadratrötter.

Så den biten var redan avklarad. Resten av diskussionen har istället handlat om huruvida det överhuvudtaget kan finnas negativa kvadratrötter.

Bra, då är vi överens om att (c) är falskt i vart fall. Du ansåg tidigare att det kunde vara sant.

Angående om det kan finnas positiva och negativa kvadratrötter? Visst, varför inte? Defineras kvadratroten av ett tal a som ett tal r så att r ^2 = a finns det mycket riktigt två kvadratrötter, varav en är negativ. Mina inlägg har gått ut på att understryka att rottecknet alltid bara har ett värde och det är posítivt.

Anmärkning: Ofta låter man sqrt(-1) vara odefinerat. Det är oklart om man menar i eller -i.

Sang-drax skrev:

Anmärkning: Ofta låter man sqrt(-1) vara odefinerat. Det är oklart om man menar i eller -i.

Här anser jag att i = definitionsmässigt sqrt(-1), alltså den positiva roten. Sen har man samma problem att det finns två lösningar så att säga, de konjugerande x=i och x=-i för x^2=-1. Och i är ju faktiskt egentligen inget annat än en definierad symbol för sqrt(-1)! På varje plats där man ska skriva i kan man ju faktiskt skriva sqrt(-1) istället. Symbolen i har väl införts mer av tydlighetsskäl.

Nja, så här uttrycker fråga Lund sig i frågan:

Kvadratroten av ett tal är endast definierat då talet är större än eller lika med noll, kvadratroten av -1 är således ej definierad. Däremot kan man införa ett tal j (eller i) med egenskapen j^2=-1. Anledningen till att vi ej kan definiera kvadratroten ur -1 är att -j också uppfyller samma ekvation och vi vet ej vilken av dessa vi skall välja att kalla "kvadratroten ur -1".

Ofta menar man kanske med roten ur ett negativt tal den rot som har ett plustecken framför imaginärdelen. Dessutom, hur skall man definera sqrt(i)? Det är svårt att göra på ett meningsfullt sätt.

Sang-drax skrev:

Dessutom, hur skall man definera sqrt(i)? Det är svårt att göra på ett meningsfullt sätt.

Det är definierat. Läs själv på http://mathworld.wolfram.com/i.html