Mathworld skriver också att man med sqrt(x) menar "principal square root":en.
Any nonnegative real number x has a unique nonnegative square root r; this is called the principal square root and is written r = x^(1/2) or r = sqrt(x).
Där då sqrt skall vara det normala kvadrotstecknet, som återfinns i de uppgifter som Peeer postat. Dvs, att skriva sqrt(9) = -3 hade varit fel med sedvanliga definitioner.
Att du sedan anser att det alltid ska betonas att man menar den positiva roten, ja, det får väl du anse då :)
UlfTMedlem sedan maj 20018 027 inlägg
Muzzafarath skrev:
Mathworld skriver också att man med sqrt(x) menar "principal square root":en.
Vad hände med det inbäddade citatet? Nåväl, det står i ovanstående inlägg.
Där då sqrt skall vara det normala kvadrotstecknet, som återfinns i de uppgifter som Peeer postat. Dvs, att skriva sqrt(9) = -3 hade varit fel med sedvanliga definitioner.
Jag tolkar inte detta citat som att man underförstått menar att sqrt(x) är det samma som "principal square root". Jag tolkar det snarare som att det finns en "principal square root", och den är positiv.
Däremot skriver de:
In common usage, unless otherwise specified, "the" square root is generally taken to mean the principal square root.
Alltså, i normal användning, brukar man nöja sig med "principal square root" som svar. Notera att detta rör normal användning. Det är alltså inte någon matematisk definition av begreppet rot. Den matematiska definitionen omfattar fortfarande både positiva och negativa kvadratrötter. Ska man definitionsmässigt begränsa sig till "principal square root", då bör man också klargöra att det är just "principal square root" man är ute efter. Alltså var det helt korrekt med både (+3) och (-3) som lösningar i Peeers tal (om de inte efterfrågade "principal square root" specifikt).
Muzzafarath skrev:
Att du sedan anser att det alltid ska betonas att man menar den positiva roten, ja, det får väl du anse då
Ja, det är ingen särskilt udda uppfattning jag företräder. När jag drar mig till minnes mina mattelektioner, minns jag massvis med ekvationer där svaren kunde vara i stil med:
x = 5 (+/-)2
just därför att det förekom kvadratrötter i ekvationen. Det ansågs faktiskt som felaktigt att bortse från att positiva tal har två kvadratrötter. Just därför att det inte var "principal square root" som efterfrågades.
Jag tolkar inte detta citat som att man underförstått menar att sqrt(x) är det samma som "principal square root". Jag tolkar det snarare som att det finns en "principal square root", och den är positiv.
Okej, det är en heltokig tolkning enligt mig. Jag tycker att det ordagrant står att man med sqrt(x) menar "principal square root":en.
Låt huvudrot = principal square root.
Det står på Mathworld
- att r är huvudroten av x, och
- att r kan skrivas sqrt(x).
Hur kan du INTE tolka detta som att sqrt(x) är huvudroten av x?
UlfTMedlem sedan maj 20018 027 inlägg
Muzzafarath skrev:
Okej, det är en heltokig tolkning enligt mig. Jag tycker att det ordagrant står att man med sqrt(x) menar "principal square root":en.
Jag översätter citatet:
Any nonnegative real number x has a unique nonnegative square root r; this is called the principal square root and is written r = x^(1/2) or r = sqrt(x).
med följande:
Varje ickenegativt reellt tal x har en unik ickenegativ kvadratrot r; vilken kallas "principiella kvadratroten", och skrivs r = x^(1/2) eller r = sqrt(x).
Dvs, det finns en "principal square root" till x. Men citatet säger inte att den är den enda roten.
Muzzafarath skrev:
Låt huvudrot = principal square root.
Det står på Mathworld
- att r är huvudroten av x, och
- att r kan skrivas sqrt(x).
Hur kan du INTE tolka detta som att sqrt(x) är huvudroten av x?
Det är sant att huvudroten r kan skrivas sqrt(x). Men det kan även den negativa roten -r göras. De premisser du utgår från, utesluter nämligen inte (-r) = sqrt(x). Därmed går jag inte på något vis emot de premisser du uppställde, när jag skriver att det positiva talet "x" har två rötter. Det finns helt enkelt två olika tal som båda två är sqrt(x).
Men det kan även den negativa roten -r göras.
Jag ansåg att det var underförstått att det endast var den principiella roten som skrevs sqrt(x). Uppenbarligen gör inte du detta. Det är ibland så med matematiska definitioner, att när det står "om" så menas det egentligen "om och bara om". Ett exempel från Mathworld är deras definition av vektorrum ("om V ska vara ett vektorrum, så måste följande hålla: ...", istället för det mer korrekta "V är ett vektorrum om och bara om följande håller: ..."). Andra exempel på detta fenomen återfinns i t.ex S. Berberians "A first course in real analysis" (definitionen av konvergens, s. 39) och L. Groves "Algebra" (definitionen av ring, s. 47). Jag får väl anse mig själv "slagen" eftersom jag nu inte orkar leta upp nån auktoritet som håller med mig.
TTympanonMedlem sedan nov. 2004302 inlägg
Muzzafarath skrev:
Tympanon skrev:
Jag har också matteproblem. Det handlar om en skum polynomdivision som jag inte tycker att det ska bli någon rest på:
(x^3 + 2x^2 - 1) ska delas med (x + 1)
så jag får ut ett uttryck för de kvarvarande 2 lösningarna. Problemet är att jag inte fixar divisionen, får inte ordning på det.
Tacksam för svar.
Se bifogad bild.
TACK!
Jag rörde ihop det i steg 2, missade att ett x skulle bli negativt. Snällt av dig.
Ulf, du har fel.
sqrt(x) av ett reellt tal x är alltid definitionsmässigt positiv. Alla grundläggande böcker i matematik tar upp detta.
Ekvationen x^2 = R har däremot allmänt två lösningar, nämligen +/- sqrt(R).
En sida som försöker förklara
http://sv.wikipedia.org/wiki/Kvadratrot
"Inom matematiken är kvadratroten ur ett icke-negativt reellt tal x det icke-negativa reella tal, vilket multiplicerat med sig självt blir x."
UlfTMedlem sedan maj 20018 027 inlägg
Sang-drax skrev:
Ulf, du har fel.
sqrt(x) av ett reellt tal x är alltid definitionsmässigt positiv. Alla grundläggande böcker i matematik tar upp detta.
Det har jag i så fall glömt.
Enligt http://mathworld.wolfram.com/SquareRoot.html
Note that any positive real number has two square roots, one positive and one negative.
Det verkar alltså råda delade meningar om den definitionen. Notera även att de konsekvent använder sig av begreppet principal square root. Det hade ju knappast varit nödvändigt om kvadratroten hade definierats som den positiva roten.
PeeerMedlem sedan mars 20025 907 inlägg
Sang-drax skrev:
sqrt(x) av ett reellt tal x är alltid definitionsmässigt positiv. Alla grundläggande böcker i matematik tar upp detta.
Well, de böcker jag hade på gymnasiet pratade alltid om 2 rötter. Om jag inte minns helt fel.
Så lite luddigt får jag nog säga att jag tycker det är.
LaspMedlem sedan juli 200012 978 inläggFick ett mail igår som kanske berör den här tråden?
Kan vara värt att kolla in på:
http://www.paron.nu/?go=sw&id=62
UlfTMedlem sedan maj 20018 027 inlägg
Sang-drax skrev:
En sida som försöker förklara
http://sv.wikipedia.org/wiki/Kvadratrot
"Inom matematiken är kvadratroten ur ett icke-negativt reellt tal x det icke-negativa reella tal, vilket multiplicerat med sig självt blir x."
Det finns faktiskt en intressant konsekvens av det den sidan påstår. Enligt sidan gäller följande:
sqrt(x^2) = |x|
dvs, kvadratroten (det som de engelskspråkiga sidorna kallar principal square root, då de skiljer det från begreppet square root, som enligt svenska WikiPedia skulle vara samma sak) är absolutbeloppet av kvadratroten. Det låter konstigt uttryckt, men det är bara pga det jag nämnde om att WikiPedia inte tycks skilja mellan principal square root och square root. Den intressanta konsekvensen är att det plötsligt blir giltigt att ta kvadratroten ur negativa tal, och representera den enbart med ett tal i den reella domänen. Även om denna rot är imaginär, har den ju ett högst reelt absolutbelopp.
Oavsett vad du tycker dig ha hittat om principiella kvadratrötter hit och dit så är detta faktum:
Symbolen för kvadratrot (det vinklade strecket) avser endast det positiva tal vars kvadrat är talet under strecket. Ingenting annat.
Kanske finns det någon gymnasiebok som är lite otydlig i denna fråga, men jag betvivlar detta. Böcker för universitetsstudier är kanske lite tydligare.
Varför tror du att man skriver lösningar till andragradsekvationer som +-sqrt(2) ? Enligt dig verkar ju inte "+-" behövas alls.
Du har haft vetskapen om att en andragradsekvation har två rötter i huvudet och sedan överfört det på funktionen sqrt(x), vilket är fel. Har du vidare funderingar, fråga gärna Lund på:
http://www.maths.lth.se/query/index.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root
Den intressanta konsekvensen är att det plötsligt blir giltigt att ta kvadratroten ur negativa tal
Nej, nej, nej! Vad får dig att dra denna slutsats? Både negativa och positiva tal i kvadrat blir positiva!
sqrt( (-3)^2 ) = |-3| <=>
sqrt(9) = 3
EDIT:
Inom komplex analys finns inslag av det du är inne på, nämligen flervärda funktioner. Där kan funktioner som z^1/2 ha flera värden. Det ligger dock på C-nivå.
UlfTMedlem sedan maj 20018 027 inlägg
Sang-drax skrev:
Oavsett vad du tycker dig ha hittat om principiella kvadratrötter hit och dit så är detta faktum:
Symbolen för kvadratrot (det vinklade strecket) avser endast det positiva tal vars kvadrat är talet under strecket. Ingenting annat.
Ok. I WikiPedia kallar de detta tecken för principal square root-function. Då är jag med på att detta tecken avser endast positiva kvadratrötter. Därmed har vi alltså följande:
- Teknet står för positiva kvadratrötter
- Men kvadratrötter kan vara både positiva och negativa
Det är alltså frågan om man talar om detta tecken eller ej.
UlfT skrev:
- Teknet står för positiva kvadratrötter
- Men kvadratrötter kan vara både positiva och negativa
Nej, de kan ju faktiskt inte det! (Kvadratrötter av positiva, hela tal) Däremot kan en andragradsekvation ha rötter (Förvirrande nog samma ord, i annan betydelse) som är både positiva och negativa.
Ekvationen x^2 - x = 0 har t ex rötterna 1/2 +/- sqrt(1/2). Alltså både rötterna 0 och 1 (Här i bemärkelsen lösning till ekvation)
Dock gör inte det på något magiskt sätt att sqrt(1/2) blir negativt, utan det ligger i beteckningen +/-.
UlfTMedlem sedan maj 20018 027 inlägg
nitro2k01 skrev:
UlfT skrev:
- Teknet står för positiva kvadratrötter
- Men kvadratrötter kan vara både positiva och negativa
Nej, de kan ju faktiskt inte det!
Då är det alltså fel det som står här: http://mathworld.wolfram.com/SquareRoot.html
Note that any positive real number has two square roots, one positive and one negative.
Eller så är det väl olika matematiska regler beroende på språk. I svenska språket finns det mig veterligen inget ord för principal square root.
Faktiskt så är det så att kvadratroten av ett tal (Här i betydelsen funktion) aldrig är negativ. Den kan vara =0, ett positivt tal, eller ett komplext tal, men aldrig ett negativt reellt tal.
UlfTMedlem sedan maj 20018 027 inlägg
nitro2k01 skrev:
Dock gör inte det på något magiskt sätt att sqrt(1/2) blir negativt, utan det ligger i beteckningen +/-.
Du kanske noterade att jag gjorde en listning, där jag skilde mellan tecknet för kvadratrot (principal square root-function), och begreppet kvadratrot?
UlfTMedlem sedan maj 20018 027 inlägg
Sang-drax skrev:
UlfT skrev:
Den intressanta konsekvensen är att det plötsligt blir giltigt att ta kvadratroten ur negativa tal
Nej, nej, nej! Vad får dig att dra denna slutsats? Både negativa och positiva tal i kvadrat blir positiva!
Men nu menade jag roten ur negativa tal. Rötterna av -4, är 2i och -2i. Deras absolutbelopp är 2. Därmed har vi fått en rot som ligger på den reella axeln. Fast min miniräknare brukar ge imaginära tal när man applicerar sqrt på negativa tal. Det är tydligen bara för positiva tal som min miniräknare beräknar sqrt() som den principiella kvadratroten.
UlfT skrev:
Men nu menade jag roten ur negativa tal. Rötterna av -4, är 2i och -2i. Deras absolutbelopp är 2. Därmed har vi fått en rot som ligger på den reella axeln. Fast min miniräknare brukar ge imaginära tal när man applicerar sqrt på negativa tal. Det är tydligen bara för positiva tal som min miniräknare beräknar sqrt() som den principiella kvadratroten.
Enligt definitionen på sidan, så skulle alltså x = 2i, alt. x = -2i med ditt exempel. Men definitionen i fråga gäller bara reella x. Kolla själv. :)
Ang. Square root och Principal square root, så tolkar jag det som att Square root of x bör översättas Alla lösningar till ekvationen x^2 medan Principal square root of x bör översättas Funktionen sqrt(x) av x.
