27 svar · 1 004 visningar · startad av alj
För några dagar sedan lyssnade jag på en professor som berättade en paradox för oss p3:lyssnare.
"Om man kastar en pil emot en vägg så kommer den fram
Men om man säger att den går först halvvägs och sedan halva den halvan och halva den halvan osv. så kommer den egentligen aldrig fram.."
Hur fasiken löser man detta?!
Men den kommer aldrig fram. Vägen minskas hela tiden med hälften, ända ut i oändligheten. Man löser det inte, man förstår det.
/r Vi säger du har 10 meter och vägen minskas med hälften hela tiden:
5
2.5
1.125
0.5625
0.28125
0.140625
etc.
Du närmar dig hela tiden noll och sträckan blir hela tiden mindre och mindre till dess att den är mindre än en, säg, miljondels millimeter, men du kommer ändå aldrig fram.
För övrigt är P3 en bra radiokanal att lyssna på.
Det där är en av Zenons "skenbara" paradoxer - vilka kan förklaras matematiskt och därmed inte alls är några paradoxer... ;)
Några sidor om paradoxerna:
http://www.kunskapsbanken.su.se/VisaFraga.asp?Index=11727
http://www.math.chalmers.se/~hoffman/teaching/exreport1.html
Hmm... utan att ha läst det Hypatia länkade till (ska göra det sedan) så får jag det til att den kommer fram.
Om pilen kommer fram när man kastar den vanligt så är det ettt bestämt avstånd mellan kastaren och piltavlan. Oavsett hur lite pilen ssedan åker framåt åt gången så åker den just, framåt, och till slut når den tavlan.
eller?
:)
hypatia skrev:
Det där är en av Zenons "skenbara" paradoxer - vilka kan förklaras matematiskt och därmed inte alls är några paradoxer... ;)
Några sidor om paradoxerna:
http://www.kunskapsbanken.su.se/VisaFraga.asp?Index=11727
http://www.math.chalmers.se/~hoffman/teaching/exreport1.html
Den var Zenon jag precis letade efter. Läste om honom i Matte D-boken här om dagen..
Trexter: läst mitt inlägg igen.
Ärsch vad jobbigt att mitt svar blev så flummigt, "oändligt" :P
Tack för hjälpen!
trexter skrev:
Ok, mitt svar hgade väl sina luckor då.
;)
Jupps. :)
Jag kan ju tillägga att jag inte heller är den allra bästa på logik. Hypatia är väl matte-lärare, så hon är nog "da math wF member" eller nåt. :)
m_soderlund skrev:
Men den kommer aldrig fram.
Jodå, det är klart att den gör. :)
Om vi tänker oss att sträckan som pilen ska tillryggalägga är 1 meter, och den först åker halvvägs, 1/2 m, sedan halva den halvan, 1/4 m, sedan halva den halvan, 1/8 m , osv. så får vi summan:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... vilket är en geometrisk serie vars summa är (1/2)/(1-(1/2)) = 1, så pilen kommer alltså fram. :)
Men, detta kände inte Zenon till och det krävs kunskaper i analys (gränsvärden och summor) från grundläggande kurser på universitetsnivå för att "bevisa" det. :)
hypatia: nja, om man ska va strikt så bör man väl säga att summans värde är (1/2)(1-(1/2)^n)/(1-1/2) där n är antalet halveringar och dess gränsvärde är 1 då n gåt mot oändligheten?
Dessutom har jag för mig att såna här enkla summor räknade man lite på i gymnasiet också, kanske inte såna med gränsvärden.
pimme, det är en definitionsfråga. :)
Man definierar ofta oändliga summor som serier och om följden av delsummor har ett tal som gränsvärde kallar man detta tal för seriens summa.
Summa (x)^n då n går från 0 till oändligheten, och |x| < 1, = 1/(1-x)
och om man istället låter n gå från 1 till oändligheten blir summan 1/(1-x) - 1 = x/(1-x).
Om då x = 1/2 så blir alltså summan av (1/2)^n (då n går från 1 till oändligheten) = (1/2)/(1-(1/2)) = 1 :)
:)
pimme skrev:
Dessutom har jag för mig att såna här enkla summor räknade man lite på i gymnasiet också, kanske inte såna med gränsvärden.
Det är jag mycket tveksam till, men man gör ju såklart olika på olika skolor.
Btw, en trevlig länk om oändliga summor, eller serier: :)
hypatia, om det är en definitionsfråga så har vi olika definition :)
hypatia: Men du kan inte påstå att det är fel att skriva ut att det är ett gränsvärde.. ;)
hypatia skrev:
...Man definierar ofta oändliga summor som serier och om följden av delsummor har ett tal som gränsvärde kallar man detta tal för seriens summa...
Det finns överhuvudtaget inget ämne som är så strikt som matematik. Om något definieras på ett visst sätt så är det så. Strikt matematiskt finns det ingenting som heter "oändlig summa", således finns det ingen definition för det heller. Däremot har alla oändliga serier en summa som kan beräknas. Detta blir då ett gränsvärde som gäller när (tex) n --> oändligheten. Inte alla serier har ändliga gränsvärden, ett gränsvärde kan vara (plus eller minus) oändligheten lika väl. Allt beror på hur serien ser ut.
Summering av (1/2)^n = (1/2)(1-(1/2)^n)/(1-1/2), där n är antalet halveringar. Denna uträkning är exakt. För varje ändligt värde på n (oavsett storlek) kommer denna summa alltid att vara < 1. Så vad gäller pilen: om vi har tid att vänta på pilen till tidens ände, i eoners eoner... DÅ träffar pilen väggen, men även om man drar till med det största tal som kan skrivas = n, så har fortfarande bara ändlig tid gått och pilen kommer att vara (mikroskopiskt) ifrån väggen. Detta är innebörden av gränsvärden.
Okej... visst är det så att ett av matematikens kännetecken är just att den är så strikt som den är, men försök inte att säga att det inte finns olika sätt att definiera samma sak på. Det beror bl.a. på sammanhanget, vem läsaren är och vilken nivå i utbildningen denne befinner sig på. Sedan finns det ju alltid de som anser sig ha den "rätta" tolkningen och som tvärsäkert kan uttala sig om det mesta... och det kan de ju få göra. ;)
Under lärarutbildningen tjatades det t.ex. stenhårt om att man inte fick säga "gångra" istället för multiplicera och att man skulle försöka korrigera elevernas språkbruk i detta avseende. Jag lät ändå eleverna säga "gångra" och använder emellanåt ordet själv - vi förstår ju varandra och vet att vi pratar om samma sak, och det borde ju vara det viktigaste? :)
För något år sedan blev jag antagen till en forskarskola i matematik med inriktning mot didaktik och fick möjligheten att diskutera just språkbruk och definitioner med matematiker vid olika institutioner och hörde ofta att det bara är Lärarhögskolan och skolvärlden som är så noga med att skilja på uttrycken, få matematiker känner samma behov.
Så, jag tänker fortsätta använda uttrycket "oändliga summor" om serier när det blir tydligare på det sättet och det är jag inte alls ensam om. :)
När det finns risk för missförstånd eller i ett sammanhang där uttryckssättet är viktigare än innebörden - då kan jag även använda det språkbruk som situationen kräver, men jag försöker undvika sådana situationer.
hmmm... så kommer pilen fram eller inte.... :e
Den kommer fram, men träffar inte tavlan.
