Där sätts värdet på sessionsvariabeln till myusername. Ändra detta till
$_SESSION['username'] = $myusername;
Några synpunkter:
Lösenordet ser jag ingen anledning att spara i en sessionsvariabel.
Jag tror att metoden checkLogin returnerar ett booleskt värde (true/false) istället för en sträng ('true'/'false'). Du bör då också använda booleska värden i din jämförelse för att PHP ska slippa göra en typomvandling.
Och till sist:
Om du skriver
<?php echo "." . $_SESSION["username"] . "."; ?>
så kommer det att skrivas ut en punkt före och efter användarnamnet, men det kanske du vill?
Hmm... tittade igenom koden på github som du länkade till. Metoden returnerar faktiskt strängen 'true', så det ska inte vara true som jag skrev tidigare. Men för mig är det ett väldigt konstigt sätt att koda :)