För att svara på mina egna frågor:
Sql satsen var inte korrekt.
Man måste använda mysqli->multi_query(). Det verkar inte gå att använda $mysqli->prepare() på det sättet jag hade tänkt mig.
$mysqli = new mysqli([...]);
sql = "INSERT INTO tabell1 ((kolumn1,
kolumn2,
kolumn3)
VALUES($value1,
$value2,
$value3);
INSERT INTO tabell2 ((kolumn1,
kolumn2,
kolumn3)
VALUES($value1,
$value2,
$value3);
INSERT INTO tabell3 (kolumn1,
kolumn2,
kolumn3)
VALUES($value1,
$value2,
$value3);
INSERT INTO tabell3 (kolumn1,
kolumn2,
kolumn3)
VALUES($value1,
$value2,
$value3);
INSERT INTO tabell3 (kolumn1,
kolumn2,
kolumn3)
VALUES($value1,
$value2,
$value3)";
$mysqli->multi_query($sql);