Vågar mig på en gissning:
Rem = Piska
Alltså om du exempelvis piskade hästen, så sprang den fortare - därav 'lägga på en rem' :)
Man kan ju även säga:
'Han låg som en rem längs vägen' om nån som färdas väldigt fort,
slog upp det på sv.ak. ordbok -
i uttr. som ange att ett djur springer med stor hastighet, särsk. så att kroppen förefaller att ligga mer eller mindre sträckt utefter marken o. påminner om en rem