Låt Q = (e, f, g) och säg att P är den punkt i planet som är närmast Q. Notera att (a, b, c) är en normal till planet, och vi kan anta att |(a, b, c)| = 1.
Det bör vara geometriskt klart att P - Q är ortogonal mot planet, dvs att P - Q = k(a, b, c) för något reellt k. Men då blir
P = Q + (ka, kb, kc) = (e + ka, f + kb, g + kc)
och eftersom P enligt förutsättningarna låg i planet, så måste
a(e + ka) + b(f + kb) + c(g + kc) + d = 0
<=>
ae + ka^2 + bf + kb^2 + cg + kc^2 + d = 0
<=>
k(a^2 + b^2 + c^2) + ae + bf + cg + d = 0
<=>
k|(a, b, c)|^2 + ae + bf + cg + d = 0
<=>
k * 1 = -(ae + bf + cg + d).
Då blir avståndet mellan punkten och planet lika med
|P - Q| = |k(a, b, c)| = |k| * |(a, b, c) = |ae + bf + cg + d| * 1 = |ae + bf + cg + d|.