Halloj, jag och några vänner ska presentera en lösning på följande mattefråga. Jag letar inte efter själva lösningen men gärna lite sparkar i baken för att komma in på rätt väg.
Vägsystem
Läget av fyra hus bildar hörnen i en kvadrat. De boende i dessa hus vill bygga vägar så att de lätt kan komma till varandra. För att begränsa kostnaden vill de att den sammanlagda sträckan för vägarna ska bli så liten som möjligt. Kostnaden i kr/meter för att bygga vägen är konstant i hela området. Konstruera ett sådant vägsystem. Rita en noggrann figur som visar det mönster vägarna får.
Nu skulle man ju kunna sitta och gissa här tills man hittar den bästa lösningen, men det borde ju finnas något sätt. Jag är lite inne på att placera ut husen på olika koordinater i ett koordinatsystem där husen har koordinaterna (0,0), (0,1), (1,0) samt (1,1) och om man då hittar en linje som skär genom dessa och på något sätt räknar ut längden på den linjen, eller hittar två linjer som skär varandra och skär koordinaterna.
Jag vet inte vilket sätt som kan vara bäst att räkna ut det. Om man ska skriva nån formula, använda integralen och derivera ut nån formula eller om man bara ska ta några linjer och prova sig fram.
Du önskar kanske ett mer svar med formler etc, men för mig verkar det väldigt enkelt bara att titta på problemet.
Gör två diagonala vägar, då får du 2 st roten ur 3-sträckor, och kortare kan man väl inte bygga. Nackdelen är att det blir dyrare att ta sig till grannen, då man måste köra roten ur 3 (2 st halva roten ur 3) istället för sträckan 1.
Nu ingick dock inte driftskostnaden i uträkningen, vilken ändå får anses vara obetydlig jämfört med vad det kostar att bygga en väg, om man tänker på kortare sikt, och med låga trafikmängder.
Men, det kan man ju roa sig med att räkna på också!
jag tänkte också att två diagonala borde vara bäst, men blir lite osäker, för vad händer om jag tar toppen på en sinus-kurva och binder ihop dom två nedre och sen två korta för att binda ihop det där uppe. det kanske blir kortare, det är därför jag skulle vilja ta reda på om det finns något sätt att räkna ut den kortaste vägen. För sen ska jag bevisa att den vägen jag väljer verkligen är den kortaste.
men det är inte så jävla viktigt.. jag förstod ju vad du menade ändå ;)
men fortfarande så måste det ju finnas nåt sätt.. typ minimum punkten som man får fram när man tar derivatan av en ekvation. men jag har ju ingen ekvation att ta derivatan av än.. :l
Ett bevis med enbart analys tror jag skulle bli mycket komplicerat.
Eventuell bevisskiss med geometri:
Kalla hörnen A,B,C,D. A och C måste vara anslutna till varandra. Det billigaste sättet att göra detta är med en rät linje (diagonal). Vidare måste B och D vara förbundna så billigt som möjligt med hjälp av den redan ritade kurvan. Men den redan ritade kurvan kan inte hjälpa till (vinkelrät), så även detta görs billigast med en diagonal. Nu måste de båda kurvorna sammanbindas så billigt som möjligt, men detta är redan gjort.
Inget bevis direkt, men ett troliggörande som kanske kan utvecklas till ett sådant.
men jag har för mig att en cirkel kan innesluta den största arean med kortast sträcka. så om man "klippte isär" en cirkel och lät dom avklippta delarna nudda varje hörn och sedan låta bågarna mötas i mitten, skulle inte detta kunna bli kortare?
det känns ju fortfarande som att de två diagonala linjerna skulle var den bästa lösningen, men jag vill fortfarande hitta ett matematiskt sätt att bevisa det. :l
Kan komma på tre lösningar. Den gröna vägen (korset) är kortare än den blå (tre ytterkanter), och jag skulle tro att den röda kan vara kortare än den gröna. Återstår bara att räkna :).
det där lät ju väldigt bra. och för att få reda på minimum så tog du derivatan av din funktion där och satte derivatan = 0 och fick då reda på att x blev 0,21a?
