Problem med derivering

1.

Du har använt kedjeregeln för att derivera en produkt. :)

Om y = f(x) * g(x) så är
y' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)

y = (2x - 1)e^(-x)
y' = 2*e^(-x) - (2x - 1)*e^(-x)

Kurvan har extrempunkter där y' = 0 dvs. där

2*e^(-x) - (2x - 1)*e^(-x) = 0

e^(-x)(2- (2x - 1)) = 0

e^(-x)(3 - 2x) = 0

x = 1,5

Teckenstudium av derivatan ger att det är en maxpunkt.

2.

a) Ett tips är att funktionen är konkav nedåt där andraderivatan är negativ.

b) Här får du derivera en kvot.

Om y = f(x) / g(x) så är y' = (f'(x)*g'(x) - f(x)*g'(x)) / (g(x))^2

2 saker bara så jag inte blir förvirrad (så det är ingen kritik) ;)

hypatia skrev:

y' = 2*e^(-x) - (2x - 1)*e^(-x)

Du menar väll
y' = 2*e^(-x) +(Här bytte jag - mot +) (2x - 1)*e^(-x)

hypatia skrev:

Om y = f(x) / g(x) så är y' = (f'(x)*g'(x) - f(x)*g'(x)) / (g(x))^2

Menar du

y' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)) / (g(x))^2

gjorde om ena g'(x) till g(x)

kobranturre skrev:

Du menar väll
y' = 2*e^(-x) +(Här bytte jag - mot +) (2x - 1)*e^(-x)

Nej, där menar jag faktiskt minus, eftersom den inre derivatan av e^(-x) är -1.

kobranturre skrev:

Menar du

y' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)) / (g(x))^2

gjorde om ena g'(x) till g(x)

Såklart att jag menar det. Slarvigt av mig. :)

Har provat på 2an men den vill inte funka

Jag tar då och fortsätter

I vilka intervall är kurvan konkav nedåt?
Y = 24 / (x^2 + 12)

har provat lite...men som sagt så är jaag inte bra alls på derivering

Alt.1

Y = 24 / (x^2 + 12)

Y' = (24 * 2x - x^2 + 12) / (x^2 + 12)^2

Y' = (48x - x^2 + 12) / (x^4 + 24x^2 + 144)

Stuck!

Alt.2

Y = 24 / (x^2 + 12)

Y = 24 * (x^2 + 12)^-1

Y' = 24 * (-1)(x^2 + 12)^-2 * x^2 + 12

Y' = -36 * (x^2 + 12)^-2 * x^2

Y' = (-36x^2) / (x^2 + 12)^-2

Y' = (-36x^2) / (x^4 + 24x^2 + 144)

Y' = (-1,5x^2) / (x^4 + 145)

Y' = (-1,5x^2) * (x^4 + 145)^(-1) = 0

Stuck!

Alt.3

Y = 24 / (x^2 + 12)

Y' = (24 * 2x - x^2 + 12) / (x^2 + 12)^2

Y' = (24 * 2x) / (x^2 + 12)

Y' = 4x / x^2

Y' = 4x * (x^2)^(-1)

Y' = 4x * x

Y' = 4x^2 = 0

Stuck!

kan alt.4 vara rätt må tro? :x

Jag hänger nog inte riktigt med i dina alternativ. Du hade ju deriverat rätt från början. :)

y' = -48x(x^2 + 12)^-2
y' = -(48x)/(x^2 + 12)^2

y'' = (-48(x^2 + 12)^2 + 192x^2(x^2 + 12)) / (x^2 + 12)^4

y'' = 0 där

-48(x^2 + 12)^2 + 192x^2(x^2 + 12) = 0

(x^2 + 12)(-48(x^2 + 12) + 192x^2) = 0

Om vi bara tar hänsyn till reella rötter får vi ekvationen

192x^2 -48x^2 - 576 = 0

144x^2 = 576

x^2 = 4

x1 = -2 och x2 = 2

Sedan kan du t.ex. göra teckenstudium på andraderivatan för att se i vilket intervall den är negativ.

Tackar :)

Varsågod :)

haha I'm back!

Nu har jag försökt så länge med talet men jag har inte lyckats lösa hur snabbt den där j*vla fisken simmar x(

"När fiskar simmar uppströms i ett vattendrag anpassar de sin hastighet så att energiåtgången blir så liten som möjligt. Om vttnet rinner med hastigheten 4m/s så håller de den hastighet x m/s som minimerar funktionen
f(x) = x^3/(x-4) , x > 4

Vilken hastighet håller de?"

Svåraste talet i kapitlet men jag måste få reda på svaret.

Tack på förhand :)

kobranturre skrev:

Svåraste talet i kapitlet men jag måste få reda på svaret.

Svaret är 6.

Förlåt, men jag kunde inte låta bli... :e

Vad fastnar du på? Den här funktionen är ganska enkel att derivera, så du har säkert bara gjort något slarvfel.

Derivatan blir (3x^2(x-4) - x^3) / (x-4)^2 och sedan är det bara att sätta täljaren = 0, lösa ekvationen och kontrollera att det blir en minpunkt. :)

hehe...joo jag vet hur dem ska deriveras....det jag har problem med är att sätta ihop allt (steget efter att man deriverat)

OK. För att hitta minpunkten ska du sätta derivatan = 0. Derivatans funktion kan bara bli 0 om täljaren = 0, dvs. om

3x^2(x-4) - x^3 = 0

3x^3 - 12x^2 - x^3 = 0

2x^3 - 12x^2 = 0 (bryt ut x^2)

x^2( 2x - 12 ) = 0 ( x > 4 )

2x - 12 = 0

x = 6

För att kontrollera att det är en minpunkt kan du t.ex. göra ett teckenstudium eller kontrollera tecknet på andraderivatan där x = 6.

Än en gång tackat :)

jag höll på o skissa på ngt sånt här :r

f(x) = x^3/(x-4)

f'(x) = ((x-4)*3x^2 - x^3*1) / (x-4)^2

f'(x) = (3x^3 - 12x^2 - x^3) / (x-4)^2

f'(x) = (2x^3 -12x^2) / (x-4)^2

f'(x) = 2x^3 - 12x^2(x - 4)^-2

f'(x) = 2x^3 - (12x^3 - 48x^2)^-2

har en fråga bara:

Varför har nämnaren ingen betydelse i ekvationen?

Nämnaren kan inte påverka när hela funktionen blir noll.

Man kan t.ex. tänka så här:
Nämnaren kan antingen vara mindre än 0, 0 eller större än 0.

En funktion är inte definierad när nämnaren = 0. Om den däremot är större eller mindre än noll kommer hela funktionen endast att vara noll när täljaren är noll.

t.ex.

3 / 0 - ej def.
3 / ett tal, vilket som helst blir aldrig noll.

0 / vilket tal som helst (utom 0) blir alltid noll.

Alltså kan man "strunta" i nämnaren för att hitta funktionens nollställen.

red. skrivfel.

hypatia skrev:

Nämnaren kan inte påverka när hela funktionen blir noll.

Man kan t.ex. tänka så här:
Nämnaren kan antingen vara mindre än 0, 0 eller större än 0.

En funktion är inte definierad när nämnaren = 0. Om den däremot är större eller mindre än noll kommer hela funktionen endast att vara noll när täljaren är noll.

t.ex.

3 / 0 - ej def.
3 / ett tal, vilket som helst blir aldrig noll.

0 / vilket tal som helst (utom 0) blir alltid noll.

Alltså kan man "strunta" i täljaren för att hitta funktionens nollställen.

Tack igen.

Alltid lika trevligt med fröknar :bire

me again!

Jag skulle villja veta 2 saker.

1. Vad är derivatan av 6/x^(1/2) (6 delat med roten ur x)

2. Och vad är den primitiva funktionen till samma tal....d.v.s. vad är F(x) till 6/x^(1/2)?

derivatan till 6/x^(1/2) blir det inte

(6 * 1x^(-1/2) - x^(1/2)) / (x^(1/2))^2

(6x^(-1/2) - x^(1/2)) / x

sen är det hela som det gammla vanliga. Det tar stopp för mig

Skriv 6/sqrt(x) = 6 * x^(-1/2). Vanliga deriveringsregeler för "polynom" (är ju inte ett polynom iofs) ger att derivatan blir (-1/2) * 6 * x^(-1/2 - 1) = -3x^(-3/2).

Primitiva funktionen blir 6 * 1/(-1/2 + 1) * x^(-1/2 + 1) + C = nånting (vanliga integrationsregler för "polynom" där med).