Någon annan kan säkert ge ett bättre, men jag kan ge det ett försök.
Det beror på huruvida informationen är upphovsrättskyddad. Det finns en citaträtt i Sverige, men jag tror att möjligheten att systematiskt hämta information är begränsade.
Citaträtt: http://sv.wikipedia.org/wiki/Citaträtt
Uppgifterna från Birthday är offentliga handlingar och bör inte omfattas av upphovsrätten. Däremot bör du nog se upp så att den information du lagrar inte räknas som ett strukturerat register över personuppgifter och tänks av PUL (personuppgiftslagen). Du bör alltså läsa på vilka begräsningar PUL innebär, om den är tillämpbar.
Sen kan det ju även ske att (t ex) Birthday inte gillar att få en massa förfrågningar från din server och helt sonika stänger av tillgången till tjänsten. I alla lägen är det så att Birthday, eller någon annan motsvarande tjänst, inte har någon skyldighet att tillhandahålla information gratis till dina besökare i andra hand.