6 svar · 10 258 visningar · startad av xtreme
Skulle vilja ha hjälp med hur man med bara penna och papper (dvs utan räknare) tar reda på sin, cos och tan.
Några ex:
Ange en vinkel mellan 0 och 360 grader så att cos = -1/2 och sin 1/2 sqrt(3)
Ange alla lösningar mellan 0 och 360 grader för cos = 1/2
Ange alla lösningar mellan 0 till 360 till ekvationen cos a = -1/2
Ange alla lösningar mellan 0 och 360 grader till ekvationen cos a = -1
Det går inte... det är tabellvärden som är lagrade i miniräknaren.
Finns vissa speciella vinklar som man bör kunna utantill (alt. slå upp i tabell). Finns i enkla tabeller där värden för första kvadranten av enhetscirkels är angiven. Resterande räknas enkelt ut.
sl0k skrev:
Det går inte... det är tabellvärden som är lagrade i miniräknaren.
För att rätta mig själv .. det går med ex. Taylor utveckling. Men för att lösa uppgifterna du gav klarar man sig med enkel trigonometrisk kunskap.
Kan du visa hur man löser mina ex? Menar inte svårare uppgifter än mina exempel.
Tänk dig ett koordinatsystem där axlarna ser ut som ett stort plustecken i och med att du har både plus och minus på x och y. Rita nu en cirkel med radien 1 runt mittpunkten (origo). Som du kanske känner till så räknar man ut en cirkels omkrets med formeln 2*pi*radien. Eftersom radien är 1 på den här cirkeln blir alltså omkretsen 2*pi.
Vid dina beräkningar ska du utgå från punkten längst till höger på cirkeln (där x-koordinaten är 1 och y-koordinaten 0) och sen gå moturs. Om du tänker dig en annan punkt på cirkeln, så kommer vinkeln att vara avståndet från utgångspunkten längs cirkelns omkrets (i radianer). Sinus för vinkeln kommer att vara y-koordinaten och cosinus för vinkeln är x-koordinaten. Tangens för vinkeln kommer att vara y-koordinaten delat med x-koordinaten, eller rättare sagt sinus-värdet delat med cosinus-värdet.
http://sv.wikipedia.org/wiki/Trigonometrisk_funktion
där finns värdena. Under rubriken Exakta trigonometriska funktionsvärden och Funktionsvärden för godtyckliga vinklar
Sen bör du veta att cosinus och sinus är periodiska med perioden 360 grader eller 2pi radianer. Tangens har perioden pi radianer eller 180 grader.
Så ex.
Ange en vinkel mellan 0 och 360 grader så att cos = -1/2 och sin 1/2 sqrt(3)
Ur tabell finner vi att cos(60grad) = 1/2.
- cos(v) = cos( 180 - v ) vilket medför att cos(120grad) = - 1/2.
sin(120grader) = sin (180 - 60) = sin (60) = sqrt(3) / 2
Svaret är alltså
v = 120 grader + n*360, n är ett heltal
/red tydal hann före..
/red typo.. 120 grader skall svaret givetvis vara
När man nu sitter där med bara papper och penna, utan tabell, och inte kan komma på vilken vinkel vars sin resp cos är 1/2 resp 1/2*sqrt(3) kan man använda följande "bevis"
Tänk dig en likbent triangel med sidan 1. Då är alla vinklarna 60 grader. Dra normalen från mitten på ena sidan upp till motstående vinkel. Vi har då två identiska tringlar. Om var och en av dessa vet vi att vi har en rätvinklig triangel med de två andra vinklarna 30 resp 60 grader och sidorna 1 , 1/2 (vi delade sidan med längden 1 på mitten) och 1/2*sqrt(3) (följer ur pytagoras sats (1/2)^2 + 1/2*sqrt(3))^2 = 1 )
Hur man går vidare från detta beror lite på hur man tänker om sinus och cosinus. Här räcker det med den beskrivning som man ofta börjar med innan man inför enhetsvektorn som roterar runt origo. Då brukar man t.ex. skriva att sinus är en trigonometrisk funktion av en vinkel, som i en rätvinklig triangel anger kvoten mellan motstående katet och triangelns hypotenusa.
Vi kan då börja bygga upp en tabell(eftersom hypotenusa i vårt fall är 1) som vi bör lägga på minnet.
sin(30)=1/2
cos(30)=1/2*sqrt(3)
och
sin(60)=1/2*sqrt(3)
cos(60)=1/2
Som övning för den intresserade lämnas det enkla beviset för att sin(45) = cos(45) = 1/sqrt(2) för att komplettera tabellen.
