Pedagogisk matematiker sökes!

Om man mäter något slumpmässigt utfall, är mätresultatet en slump. Men det finns vissa sannolikheter för att resultatet ska hamna inom ett visst intervall. I ditt exempel anger procentsatserna sannolikheten för att resultatet ska hamna inom intervallen (-3,3), (-2,2) och (-1,1). Eftersom det exemplet inte är kopplat till något särskilt, såvitt jag kan se, skulle jag föredra något mer konkret att resonera kring:

Anta att du kastar tärning. Då är sannolikheten för att du får en 6:a 1/6. Således skulle du kunna förvänta dig att om du kastar tärning 60 gånger, skulle du få tio sexor. Men nu är det inte särskilt troligt att du får exakt tio sexor efter 60 kast. I en del fall får du kanske elva sexor, eller rentav tolv sexor. Medan du i andra fall får bara sju eller åtta sexor. Eller kanske ingen alls. Om du då gör en mängd sådana 60-kast-tester, kommer du se att du får en mängd olika resultat, sex sexor, sju sexor, åtta sexor, osv. Det kommer antagligen vara vanligare att du får tio sexor än att du får sju sexor, eller tolv sexor. Gör du en kurva över fördelningen av resultaten, kommer du få en gauss-kurva liknande denna, över resultaten. Med hjälp av denna gauss-kurva kan du då beräkna sannolikheten för att antalet sexor i en test ska hamna inom ett visst intervall, tex 8-12 sexor. Denna sannolikhet motsvaras av ytan under kurvan mellan dessa värden. Ytan under hela kurvan är alltid lika med 1 (något värde får vi ju alltid på antalet sexor). Ytan under kurvan mellan värdena 8-12, skulle kunna vara 0,9. Om det är så, är det 90% sannolikhet att testet ger minst åtta och max tolv sexor. Men det behöver inte vara 0,9 mellan dessa värden. Det beror på hur många tester du har gjort. Ju fler tester du gör, desto mer kommer denna kurva smalna av mot ett väntevärde på tio sexor.

Om man ska återgå till ditt exempel, så återfinns 99,7% av den totala ytan under kurvan mellan värdena -3 och 3.

Jag vet inte hur enkel den här förklaringen är, men tärningskasten borde åtminstone ge en bild av ett värde som är mer sannolikt än andra värden, samtidigt som de andra värdena mycket väl kan uppkomma, och förmodligen också uppkommer emellanåt.

Aha!!!! :i :bire

Tack Ulf! :) :f

Ja Jag tyckte det var en bra förklaring. Är svaret accepterat?

Eller så här:

Det matematiska uttrycket för Gausskurvan går inte att "härleda". Det går (mig vetligen!?) inte att utgå från något enkelt, och sedan med fortsatta beräkningar få fram det matematiska uttrycket för den täthetsfunktion du vill ha fram: f(x)=(1/ sigma * sqrt(2 * pi)) *exp(-(x-m)^2/2*sigma^2).

Bodil Jönsson tar upp detta som ett exempel på modeller. Hon skriver: "Sambandet är teoretiskt uppbyggt inom den rena, icke-empiriska matematiken. Det finns egentligen inga motiv till att denna teori skulle vara en bra beskrivning av statistiken i en mätserie [...]. Mätvärdenas normalfördelning utgör en framgångsrik modell (en bland många möjliga). Gauss formel är däremot rent teoretisk. "

Om kan anta att en obekand är normalfördelad, d.v.s., antar att en obekant ges ett viss utfall enligt någon fördelning, t.ex. en formalfördelning, så illustrerar täthetsfunktionen hur stor sannolikhet de oilka utfallen har. (En bekant, till skillnad från en obekant, har ingen fördelning alls, bara ett värde.)

Dock kan man se "motivera" att en normalfördelning är rimlig. Om man t.ex. singlar slant (krona eller klave) 200 gånger. Sannolikheten för krona är 50% och för klave 50%, förstås. Krona eller klave experimentet har en binomialfördelat utfall, endera krona, eller klave och sannolikeheten är 100% att det blir någon av dessa två. Om man nu kaster 200 ggr hur stor är då sannolikheten att mellan 95 och 105 av dessa är krona? Det kan man använda bionmialfördelningen för att berkäkna (sannolikheten är [summa (låt j löpa från 95 till 105) (200 över j)*(1/2)^j * (1/2)^(200-j)] som är 0.56325).

Samma sannolikhet kan också approximativt beräknas med hjälp av normalfördelningens sannolikhetsfunktion. Man antar då (något som är rimligt, som vi ser av resultatet!) att antalet krona är normalfördelat, och sannolikheten kan beräknas som F((105-100)/sqrt(50))-F((95-100)/sqrt(50)), där F är normalfördelningens sannolikhetsfunktion. Svaret blir ungefär 0.563. (Läser man i böcker om detta så skall man använda "halvkorrektion" för denna beräkning, då stämmer approximationen ännu lite bättre!)

Slutsatsen blir att Guass nog gissade sig fram till detta utseende baserat på ett antal experiment. Att det fick formen (det matematiska uttrycket!) som vi är vana att se den beror på att den är "bra", då den är (ganska) enkel att beräkna. Det matematiska utseendet hos funktionen är som sagt helt teoretiskt bestämt.

Hmm, kanske inte vidare pedagogiskt, men det är heller inte så lätt!

Varför intresse för detta? Lärare eller elev?

Tack nicclas, tror jag förstår det hela ganska bra nu. Har läst om detta en gång men antagligen förträngt det. ;) Kom nämligen precis ihåg varför jag inte gillar matte... ;)

nicclas skrev:

Varför intresse för detta? Lärare eller elev?

Tror det eller ej...
Men jag ska använda Gauss.kurvan på min graviditetssida för att visa att gravida kvinnor inte följer någon exakt mall utan är olika. :) Vi får se om besökarna fattar...

Då kanske du kan få hjälp av någon annan wF áre antingen är dom(han)gravid eller så är han skyldigt tet!

Ja Lasp...du har nog rätt i det där! ;)

I vilket fall så blev demonstrationen med Gauss-kurvan en omedelbar success hos mina paranoida gravida besökare. :)