En upp och nedvänd kon med höjden 60 cm och radien 12 cm är delvis fylld med vatten.
Vattnet läcker ut genom konen med en hastighet som är proportionell mot den area som är i kontakt med vattnet. Man fyller på vatten i konen uppifrån. Om påfyllnadshastigheten är 100cm3/min kommer vattenytan att sjunka med hastigheten 0,6cm/min då vattenhöjden i konen är 24 cm.
Hur stor ska påfyllnadshastigheten vara om man vill att vattenytan ska hålla sig konstant på en viss nivå ?
* Löser ni detta på ett förståligt sätt vore jag evigt tacksam !
En upp och nedvänd kon med höjden 60 cm och radien 12 cm är delvis fylld med vatten.
Vattnet läcker ut genom konen med en hastighet som är proportionell mot den area som är i kontakt med vattnet. Man fyller på vatten i konen uppifrån. Om påfyllnadshastigheten är 100cm3/min kommer vattenytan att sjunka med hastigheten 0,6cm/min då vattenhöjden i konen är 24 cm.
Hur stor ska påfyllnadshastigheten vara om man vill att vattenytan ska hålla sig konstant på en viss nivå ?
* Löser ni detta på ett förståligt sätt vore jag evigt tacksam !
Usch... om du ändå hade frågat denna fråga för ca 5 år sedan så hade du fått ett svar... :) men nu ids jag inte längre... (har glömt bort mycket också) :D
Hur mycket vatten rinner ut när vattenytan sjunker med 0,6 cm?
Eftersom det är en kon, och du känner till radien vid 60 cm, är det enkelt att räkna ut radien vid 24 cm. Därmed är det bara att räkna ut tvärsnittsarean vid höjden 24 cm med formeln för cirkelarean.
Nu har du arean, och ska beräkna volymen som rinner ut. Den fås enkelt genom 0,6*tvärsnittsarean.
Den volym som du har räknat ut, det är vad som rinner ut trots att du fyller på med 100 cm3 vatten per minut. Alltså är det precis så mycket som du måste öka flödet för att vattenytan ska vara konstant. Addera bara denna siffra till nuvarande flöde, och du har det flöde som krävs.
Nu var det länge sedan jag gjorde några liknande beräkningar. Någon nämnde att det krävs differentialekvationer. Jag kan inte alls se att det skulle vara nödvändigt. Såvitt jag kan se, är det verkligen just så enkelt som jag beskrev det. Siffrorna får du räkna ut själv. Det är ju ändå din uppgift.
Svar:
Låt h och r vara vattenkonens höjd resp. radie. Likformiga trianglar ger då att r = h/5. Om V är volymen och A arean gäller i första skedet
dV/dt = -k1A + 100.
Nu är A = k2h2 och V = Pir2h/3 = Pih3/75 vilket ger att dV/dt = (Pih2/25)(dh/dt) varför
(Pih2/25)(dh/dt) = -kh2 + 100.
Eftersom du känner såväl h som dh/dt vid ett och samma tillfälle kan du härur bestämma konstanten k. I det andra skedet, när du fyller på med en konstant hastighet a så att höjden är konstant, gäller
(Pih2/25)(dh/dt) = -kh2 + a.
Att h är konstant innebär att dh/dt = 0 vilket ger att a = kh2 där k är samma konstant som tidigare.
266 ms totalt · 4 externa anrop · v20260731065814-full.a51de22e
