Selected i option.

Vad du vill göra är nog att spara en cookie, som du sedan hämtar när sidan laddas. Du får använda event handlers för att spåra när sidan laddas samt när användaren ändrar något i selecten.
Detta hämtar, resp. sparar du i en cookie. Det finns många tutorials för cookies på nätet, så googla lite.

Nee ingen cookie.

Alltså, använder en select som meny, när jag trycker på nån av det option som finns så laddas sidan om och första selected visas, och som nu alltid första, men trycker jag på 5an så ska 5an få selected istället för den som tidigare var först.

<select name="errandlist" id="errandlist" onchange="this.form.submit()">
        <option onclick="this.form.submit()" value="0" selected>Errands registered by me</option>
	<option onclick="this.form.submit()" value="1">All Errands</option>
</select>

Nu när jag kommer in på sidan är Errands registered by me valt, sen om jag trycker all errands så laddas sidan om, å då ska all errands ha selected istället för första Errands registered by me.

Det får du anitngen lösa via en cookie, querystring eller post-data. cookie och querystring kan du lösa med js med lite jobb. Dock så är en serverside lösning att föredra.