21 svar · 1 825 visningar · startad av silfver
Finns det ett sätt att räkna ut följande tal, eller måste man lista ut det? Jag gissar på alternativ ett. Kanske kan ni hjälpa mig?
Fråga: Låt r vara ett påstående med sanningsvärdet falskt och s och t påståenden med värdet sant. Vilka sanningsvärden har då följande:
a) (r ∨ s) ∨ t
b) (r ∧ s) ∧ ¬ t
Kanske man man rita upp en sanningstabell, men jag är inte riktigt med på hur man gör vid den här utformningen av ett tal.
Sanningstabeller är det enklaste alternativet när det handlar om få påståenden (korta satser). För större satser finns det olika härledningstekniker som används. Nu när du har en konkret fråga, där påståenden har utformats är det enkelt att skapa tabeller. Dina två exempel är dock väldigt lätta att se om hela satsen blir sann eller falsk. I a) har du 'eller t' på slutet och eftersom att 't' är sann kommer satsen alltid att bli sann oberoende värden på 'r' och 's'. I b) har du 'och icke-t' på slutet och eftersom att 'icke-t' alltid är falskt kommer satsen alltid att bli falsk oberoende värden på 'r' och 's'.
(F = falskt påstående)
(S = sant påstående)
Sanningstabell för a):
(r ∨ s) ∨ t
-------------------
F S S
S S
[B]S[/B]
Sanningstabell för b):
(r ∧ s) ∧ ¬t
--------------------
F S F
F F
[B]F[/B]
Edit,
Kan lägga till att oberoende på satsens storlek (om den är utformad enligt nedan) kan det vara väldigt lätt att se om satsen blir sann eller falsk om man har ett konkret värde på t.ex. 't' i det här fallet.
1.
(r ∨ s) ∨ t
2.
(q ∨ (w ∧ (s ∨ ¬r)) ∨ (t ∧ r)) ∨ t
(1) är inte svårare än (2) för att se om den blir sann om 't'=S. Vid 't' = F så får man räkna ut föregående led.
Tack, det där var ett riktigt bra svar! Som du säger så går det ju att lista ut svaren på dessa. Men ibland blir det ju knepigare och då vill jag kunna räkna ut det. Dina sanningstabeller ser så logiska ut, men jag är ändå inte riktigt med på hur ritar upp dem. Är ∨ alltid sant och ∧ falskt?
Jag har två alternativ till här:
c) r ∧ (s ∨ t)
d) (r ∧ s) ∨ (r ∧ t)
Hur skulle sanningstabellen för dessa se ut?
Dina sista exempel ser obehagliga ut och jag är glad att det inte kommer bli mycket mer avancerat än så här för mig.
r\ Tänker jag rätt?
r ∧ (s ∨ t)
---------------
F S S
[B]F[/B] S
(r ∧ s) ∨ (r ∧ t)
-----------------------
F S F S
F S [B]F[/B]
Jag är allergisk mot sånt här... :)
∨ är inte alltid sann, det beror helt på vilka påståenden som den opererar på - detsamma gäller för ∧. (alla operatorer snarare)
Mina tabeller är ju inte "fulla", då man fick sanningsvärdena på påståendena lämnade jag utanför de fall som ändå inte var aktuella. Jag ska försöka förklara mina tabeller;
( r ∨ s) ∨ t
-------------------
(1)F (2)S (3)S
(4)S (5)S
[b](6)S[/b]
(1) Här pekar F på påstående 'r' (givet från frågan).
(2) Här pekar S på påstående 's' (givet från frågan).
(3) Här pekar S på påstående 't' (givet från frågan).
(4) Här pekar S på förhållandet mellan 'r eller s' - översätts då till 'F eller S' -> S
(5) & (6) Här pekar S på förhållandet mellan '(4) eller t' - översätts då till 'S eller S' -> S ( (4) var sann och t var sann )
Hoppas det blev klarare, jag är lite bakis och fruktansvärt trött idag - så pedagogiken är nog inte på topp...
Ditt första förslag ser rätt ut (men inte komplett - hela satsen blir falsk eftersom att "'F' och 'S'" -> F), däremot inte det andra. Du sätter t.ex. 'r' till både sann och falsk vilket inte går så bra :)
Edit igen: Jag är tydligen för trött för det här, dina uträkningar är helt korrekta - du hade enbart ett typo på 'r' - och såg att du har markerat helt rätt utsaga för fallet. Sorry!
Borde vara:
(r ∧ s) ∨ (r ∧ t)
-----------------------
F S [u]F[/u] S
F F
[b]F[/b]
'Falskt' eller 'Falskt' kan aldrig bli 'Sant'.
En komplett sanningstabell för två påståenden 'p' och 'q' samt 'och'-förhållandet dom emellan:
p q (p ∧ q)
-------------------------
S S S [b]S[/b] S
S F S [b]F[/b] F
F S F [b]F[/b] S
F F F [b]F[/b] F
När det bara finns en operator i satsen står och faller sanningshalten alltid på den operatorn. Kan vara bra att utgå från. :)
Mera kan man översätta konjuktion till 'och', disjunktion till 'eller' och negation till 'icke'.
Edit, hittade en sida som tog upp det ganska bra. Wikipedia har nog hyfsad info också. http://www.teachersparadise.com/ency/sv/wikipedia/s/sa/sanningstabell.html
Tack som tusan för riktigt vetiga svar, SPiN!
Nu känner jag mig inte lika nervös inför provet i morgon. :bire
Det var så lite så! Det är bara vettigt med den här typen av frågor ibland tycker jag, så får man tänka på vad man egentligen har lärt sig i skolan och "gnugga knölen". :) Man glömmer ju så lätt!
Testet gick sådär. Som vanligt får jag blackout på prov, men när jag löser uppgifterna hemma går det hur bra som helst...
Fick fel på dessa två. Kan någon hjälpa mig med en sanningstabell på dessa? Skulle uppskattas.
1. (p ∨ q) ∧ ¬ p
2. (p ∨ q) → r
r\
Första löser jag så här:
p q (p ∨ q) (p ∨ q) ∧ ¬ p
----------------------------
s s s [B]f[/B]
s f s [B]f[/B]
f s s [B]s[/B]
f f f [B]s[/B]
Ser första rätt ut?
Den andra löste jag efter att ha försökt tyda din länk, SPiN:
p q r (p ∨ q) (p ∨ q) → r
-----------------------------
s s s s [B]s[/B]
s s f s [B] s[/B]
s f s s [B]s[/B]
s f f s [B]s[/B]
f s s s [B]s[/B]
f s f s [B]s[/B]
f f s f [B] f[/B]
f f f f [B]f[/B]
Så - är dessa två sanningstabeller korrekta?
Kan någon hjälpa mig med en sanningstabell på dessa? Skulle uppskattas.
1. (p ∨ q) & ¬ pr\
Första löser jag så här:
p q (p ∨ q) (p ∨ q) & ¬ p ---------------------------- s s s [B]f[/B] s f s [B]f[/B] f s s [B]s[/B] f f f [B]s[/B]Ser första rätt ut?
Du har fel på den sista. Om både p och q är falska så kan aldrig
p ∨ q
bli sann. falskt eller falskt blir aldrig sant.
Rätt tabell borde vara:
p q |(p ∨ q) | ¬ p |(p ∨ q) & ¬ p
------|--------|------|--------
s s | s | f | [B]f[/B]
s f | s | f | [B]f[/B]
f s | s | s | [B]s[/B]
f f | f | s | [B]f[/B]
(Jag fick inte till och-tecknet på annat sätt en &, era ordentliga symboler blir bara en liten grader-symbol på min maskin)
Första löser jag så här:
p q (p ∨ q) (p ∨ q) ∧ ¬ p ---------------------------- s s s [B]f[/B] s f s [B]f[/B] f s s [B]s[/B] f f f [B]s[/B]Ser första rätt ut?
Tyvärr inte riktigt rätt, den sista raden stämmer inte. Parentesen blir ju falsk (F ∨ F == F), så då blir hela satsen falsk.
p q (p ∨ q) (p ∨ q) ∧ ¬ p
----------------------------
s s s [B]f[/B]
s f s [B]f[/B]
f s s [B]s[/B]
f f f [i][B]f[/B][/i]
Den andra löste jag efter att ha försökt tyda din länk, SPiN:
p q r (p ∨ q) (p ∨ q) → r ----------------------------- s s s s [B]s[/B] s s f s [B] s[/B] s f s s [B]s[/B] s f f s [B]s[/B] f s s s [B]s[/B] f s f s [B]s[/B] f f s f [B] f[/B] f f f f [B]f[/B]Så - är dessa två sanningstabeller korrekta?
Den andra stämmer inte heller. För implikation gäller att den enbart blir falsk om högerledet ('r' i det här fallet) är falskt och vänsterledet (parentesen) är sant. Det beror på att man inte kan veta utfallet om vänsterledet är falskt. Utläs implikation som "om ..(vänsterled).. så ..(högerled)..".
p q r (p ∨ q) (p ∨ q) → r
-----------------------------
s s s s [B]s[/B]
s s f s [i][B] f[/B][/i]
s f s s [B]s[/B]
s f f s [i][B]f[/B][/i]
f s s s [B]s[/B]
f s f s [i][B]f[/B][/i]
f f s f [i][B]s[/B][/i]
f f f f [i][B]s[/B][/i]
Gah! Jag blir tokig. På första måste jag ha slarvat, för när jag ser era svar så är det ju jättelogiskt. Snygg tabell där, Gein. :)
Vet inte om jag är med på hur man löser den andra dock. De två första f:en i sista tabellraden är jag med på. Men sen så borde det ju (enligt min logik :p) bli två f till.
Vad är skillnaden på:
s s f och f s f? Varför blir sistnämnda sann när det i parantesen säger om p eller q är sann? (Nu ser jag att du måste redigerat ditt inläg va? För nu var det tre f) Men varför blir inte sista raden falsk också?
Vad är skillnaden på:
s s f och f s f? Varför blir sistnämnda sann när det i parantesen säger om p eller q är sann? (Nu ser jag att du måste redigerat ditt inläg va? För nu var det tre f) Men varför blir inte sista raden falsk också?
Okej, jag ska försöka vara pedagogisk så får vi se hur långt det räcker.
För att svara på din sista fråga, vi tar det enklare fallet:
p → r
Här gäller att om p är sann så gäller det värdet som r innehar. Låt p vara "det regnar" och q "jag är sur" (för att ta wikipedias exempel). Med implikationspilen läses det alltså som "Om det regnar så är jag sur. Om det däremot inte regnar så vet vi ingenting om huruvida jag är sur eller inte.
Så om p är falsk, hur vet vi då vad uttrycket
p → r
ger?
Vi kan skriva om uttrycket utan att på något sätt påverka dess evualuering. Följande uttryck är precis samma sak:
(p → r) = S & (p → r)
(här är jag med mina fula och-symboler igen)
När p är falskt så kan vi inte utläsa något från implikationsuttrycket (p → q) som då faller bort och lämnar S kvar.
red/ Jag inser nu att jag kanske inte svarade på din fråga? Du skriver vad det är för skillnad på S S F och F S F? Men dessa två evaulerar båda till F, så det är ingen skillnad på det sättet?
Bra svar Gein. :)
För att förtydliga hur implikation fungerar, kan man alltid skriva om all implikation till formen ¬p v q (satsen p → q är sann om antingen satsen q är sann eller satsen p är falsk).
Sanningstabell för implikation och ¬p v q:
p q p → q ¬p v q
---------------------
S S S S
S F F F
F S S S
F F S S
Bra svar Gein. :)
För att förtydliga hur implikation fungerar, kan man alltid skriva om all implikation till formen ¬p v q (satsen p → q är sann om antingen satsen q är sann eller satsen p är falsk).
Sanningstabell för implikation och ¬p v q:p q p → q ¬p v q --------------------- S S S S S F F F F S S S F F S S
Tack detsamma! Den där omskrivningen gör faktiskt att det ser mer hanterbart ut.
Ja, det finns ju en del omskrivningsregler i logiken som kan underlätta. Ytterligare ett exempel på det är ju ekvivalensoperatorn, som egentligen är dubbelriktad implikation:
p ↔ q == (p → q) ∧ (q → p)
Den går med andra ord att uttrycka i konjunktion och disjunktion (som brukar vara lättare att hantera):
p ↔ q == (p → q) ∧ (q → p) == (¬p v q) ∧ (¬q v p)
p q p ↔ q (p → q) ∧ (q → p) (¬p v q) ∧ (¬q v p)
-----------------------------------------------------
S S S s S s s S s
S F F f F s f F s
F S F s F f s F f
F F S s S s s S s
Tack för era svar! Uppskattas väldans. :)
Jag har rett ut ett litet frågetecken i dag på mattelektionen. Och problemet ligger i min uppställning. Om vi tittar på fråga 2: (p ∨ q) → r så är r till höger. Jag har gjort tvärt om.
När jag ställer upp det så här så blir det ju mer logiskt när man ser i rätt ordning. Sen nu också förstår jag att falskt falskt blir sant. Kanske är enklare att tänka + och -? ++ blir + och -- blir +.
p q (p ∨ q) r (p ∨ q) → r
-----------------------------
s s s s s sant → sant = sant
s s s f f sant → falskt = falskt
s f s s s sant → sant = sant
s f s f f sant → falskt = falskt
f s s s s sant → sant = sant
f s s f f sant → falskt = falskt
f f f s s falskt → sant = sant
f f f f s falskt → falskt = sant
Tack för ert tålamod. :bire
I morgon gör jag ett nytt försök på satslogiken...
Sen nu också förstår jag att falskt falskt blir sant. Kanske är enklare att tänka + och -? ++ blir + och -- blir +.
Det kan vara farligt att blanda in aritmetik i logik. ;) (trots att dom ofta följer liknande regler)
Jag tycker det är bättre att i så fall blanda in naturligt språk i det istället, som Gein föreslog:
Gein skrev:
Låt p vara "det regnar" och q "jag är sur". Med implikationspilen läses det alltså som "Om det regnar så är jag sur". Om det däremot inte regnar så vet vi ingenting om huruvida jag är sur eller inte.
Det här är ju ett skämt! :D Fan ska man med satslogik till egentligen... Snälla säg att någon av dessa lösningar är korrekta!
p ∨ (q ^ ¬ p):
s
s
s
f
r → (p ^ q):
s
s
f
s
f
s
f
s
Första är rätt, den andra är lite svår att utläsa då det är svårt att veta vilka värden p, r, q har. Om du skriver ut hela din tabell så går det lättare att utläsa.
Så här skulle min se ut:
p q r r → (p ∧ q)
-------------------------
S S S S [b]S[/b] S
F S S S [b]F[/b] F
F F S S [b]F[/b] F
S F S S [b]F[/b] F
F S F F [b]S[/b] (F)
S S F F [b]S[/b] (S)
S F F F [b]S[/b] (F)
F F F F [b]S[/b] (F)
Så baserat på antalet F och S, så kan din vara rätt. ;)
Du och jag ställer upp lite olika. Så jag skickar med min fullständiga tabell på tvåan också:
p q r (p ^ q) r → (p ^ q):
s s s s s
s s f s s
s f s f f
s f f f s
f s s f f
f s f f s
f f s f f
f f f f s
Men första är du säker på att den är rätt då i alla fall? Har inte fått mitt resultat än så jag hoppas du har rätt att jag har rätt. :)