Webapplikationer "kör" man inte, man driftsätter (deploy).
I Lomboz och MyEclipse, som är de som jag kör, så finns det en knapp för just "redeploy". Om man har satt TC i hot-deploy-läge så startar den inte om TC, annars stänger den automatiskt ner TC, koperar och deployar det som skall deployas och startar sedan om TC igen.
Sysedo har jag inte använt men den påstås vara en bra Tomcat-plugin. Tyvärr så är det mesta vi utvecklar mot JRun...
Om din frågeställning verkligen är hur man ska göra för att starta tomcat direkt, d.v.s. utan att göra det via Eclipse, så gör du det genom att köra "TOMCAT_HOME\bin\startup"
(där TOMCAT_HOME är root-katalogen där tomcat är installerad t.ex. "C:\jakarta-tomcat-5.0.25")
Jag misstänker dock att sista ordet (tomcat) i frågan ovan egentligen ska vara Eclipse, och att du med "köra" alltså menar att du vill kunna debugga webapplikationen från Eclipse.
I så fall ska du inte klicka på "Run" i eclipse, utan när du har satt dina breakpoints i källkoden så klickar du bara på Tomcat-ikonen som vanligt och när du sedan surfar till applikationen med en vanlig webbläsare så kommer applikationen att stanna vid dina breakpoints. Åminstone om du har konfigurerat tomcat i eclipse på rätt sätt i "Windows - Preferences - Tomcat" (t.ex. i JVM settings bör du inte ha klickat för "Don't run Tomcat in debug mode")